Demonstração da razão áurea no pentagono regular estrelado.

Olá Pessoal um professor amigo meu enviou-me este exercicio(Pos-graduação) e pelo que vi esta tudo correto, porém sua tutora disse estar errado , se alguém poder conferir . Mas acho que a tutora esta por fora.

Prove a razão aurea no pentagono regular estrelado.

Os pontos de intersecção M,N,P,Q,R das diagonais determinam um segundo pentágono regular. .Vamos mostrar que a razão entre  a diagonal ( D )  e o lado ( L ) do pentágono é o numero de ouro.

Para , isto precisamos mostrar duas situações:

1°situação - Os  GAP e JGI  são semelhantes.

2°situação - Os segmentos IP = GA = L (lado do Pentágono)Da situação1 , obtemos a seguinte relação de proporcionalidade:JG/GA = JI/GP

Observa-se que:

GA = JI = L

JG = D

GP = GI – IP =  D – L (pela situação 2)

Ou seja : substituindo em JG/GA = JI/GP temos:D/L = L/(D - L)

     como conseqüênci: L² = D² - DL   representando D/L= x ,para obtermos L² = (xL)² - xLL à L² = x²L² - xL²  à 1 = x² - x à x² - x -1 = 0 obtemos como raiz válida

Provamos assim que D/L = é o numero áureo .