Ponto de Encontro de Matemáticos e Matemáticas
PA
Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é de 1m. O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega a primeira roseira, volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar a décima oitava (18ª) roseira ele retorna para deixar o balde junto à torneira. Qual o termo geral dessa PA, e qual foi a distância total percorrida pelo jardineiro?
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Respostas a este tópico
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Permalink Responder até OSVALDO RIBEIRO DA SILVA JUNIOR em
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1ª__2ª__3ª__4ª__5ª__6ª__7ª__8ª__9ª__10ª__11ª__12ª__13ª__14ª__15ª__16ª__17ª__18ª
Pelo desenho acima, os números são as posições das roseiras, lembrando que na posição 15ª temos, além da roseira, a torneira. O espaço entre cada número tem 1 metro.
Para regar a 1ª roseira - ele vai 15 m e volta 15 m - total de 30 metros.
Para regar a 2ª roseira - ele vai 14 m e volta 14 m - total de 28 metros.
(...)
Para regar a 14ª roseira - ele vai 1 m e volta 1 m - total de 2 metros.
Para regar a 15ª roseira - ele não se desloca - total de 0 metros.
Para regar a 16ª roseira - ele vai 1 m e volta 1 m - total de 2 metros.
Para regar a 17ª roseira - ele vai 2 m e volta 2 m - total de 4 metros.
Para regar a 18ª roseira - ele vai 3 m e volta 3 m - total de 6 metros.
A sequência será: (30, 28, 26, ..., 2, 0, 2, 4 e 6)
Dessa forma é fácil verificar que:
- da 1ª a 15ª roseira a PA tem termo geral: an = 30 – 2.(n – 1); e
- da 15ª a 18ª roseira a PA tem termo geral :an = 30 + 2.(n – 1).
- a soma das distâncias da 1ª a 15ª roseira é dada por: Sn = (a1 + an).n/2
Sn = (30 + 0).15/2 = 225 metros
- a soma das distâncias da 15ª a 18ª roseira é: 0+2+4+6 = 12 metros
A distância total percorrida é 225 + 12 = 237 metros.
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Permalink Responder até silvia helena mendes fillet em
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n=1 1ª roseira - ida = 15m, volta = 15m total =30m
n =2 2º roseira - ida =16m, volta = 16m total = 32m
n =18 18º roseira - ida 15 +(n-1) = 15 +17 = 32m, volta 32m total = 64m
temos uma PG de razão 2 e primeiro termo =32
Soma = [(32+64)*18]/2 = 94*18/2 = 846m.
Seria isso?
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Permalink Responder até OSVALDO RIBEIRO DA SILVA JUNIOR em
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Acredito que quem elaborou a questão pensou como a Sílvia pensou, porém creio que essa questão não foi bem elaborada, afinal de contas não consigo ver porque minha interpretação do problema está errada. Quando a questão se refere a uma PA, a que PA ela está se referindo? Temos que SUPOR que é da soma das distâncias percorridas!
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Permalink Responder até sandra aparecida lopes beserra em
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Agora observe o seguinte:
Ao encher o balde e regar a 1ª roseira ele andará 15m . Depois volta 15m enche o balde e anda 15m + 1m até a 2º roseira, ou seja, 31m . Depois volta 16m enche o balde e anda 15m + 2m até a 3ª roseira, ou seja, 33m . Depois volta 17m enche o balde e anda 15m + 3m até a 4ª roseira, ou seja, 35m .
E assim sucessivamente, até a 18ª roseira .
Então, temos 15m, 31m, 33m, 35m, 37m, . . .
Observe que temos uma PA a partir da 2º roseira (31,33,35,37,...), cuja razão r = 2
Então, (2ª roseira) = a1 = 31 (3ª roseira) = a2 = 33 (4ª roseira) = a3 = 35 (5ª roseira) = a4 = 37 . . (18ª roseira) = a17
Logo, an = a1+(n-1).r a17 = 31+(17-1).2 a17 = 31+16.2 ------------> a17 = 63 (18ª roseira)
Então, a soma da distância percorrida da 2ª roseira até a 18ª roseira será dada por:
S = (a1+an).n / 2 S = (31+63).17 / 2 ---------> S = 799 m
Note que da 1ª roseira até a 18ª roseira são 17m.
Então a distância total percorrida até chegar na torneira será 799 + 17 + 15 = 831m.......Será que é isto
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Permalink Responder até OSVALDO RIBEIRO DA SILVA JUNIOR em
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Torneira 15 metros 1ª__2ª__3ª__4ª__5ª__6ª__7ª__8ª__9ª__10ª__11ª__12ª__13ª__14ª__15ª__16ª__17ª__18ª
Pelo desenho acima, os números são as posições das roseiras. O espaço entre cada número tem 1 metro.
Para regar a 1ª roseira - ele vai 15 m e volta 15 m - total de 30 metros.
Para regar a 2ª roseira - ele vai 16 m e volta 16 m - total de 32 metros.
Para regar a 3ª roseira - ele vai 17 m e volta 17 m - total de 34 metros.
Para regar a 4ª roseira - ele vai 18 m e volta 18 m - total de 36 metros
(...)
Para regar a 18ª roseira - ele vai 32 m e volta 32 m (para guardar o balde) - total de 64 metros.
A sequência será: (30, 32, 34, 36, ..., 64)
Dessa forma é fácil verificar que:
- A PA do deslocamento tem razão 2, primeiro termo 30 e último termo 64. Seu termo geral é:
an = 30 + 2.(n – 1)
(sendo “n” o número da roseira a ser regada e “an” o deslocamento realizado para regar a roseira “n”; deslocamento este entendido como a distância “torneira-roseira-torneira” percorrida.)
- a soma dos deslocamentos é dada por: Sn = (a1 + an).n/2
Sn = (30 + 64).18/2 = 846 metros
A distância total percorrida é 846 metros.
Continuo achando que a questão foi muito mal elaborada, dando margem a outras interpretações. Acho que quem a elaborou pensou nessa solução.
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Permalink Responder até OSVALDO RIBEIRO DA SILVA JUNIOR em
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Em sua solução você esqueceu de somar os primeiros 15 metros percorridos para regar a 1ª roseira.
sandra aparecida lopes beserra disse:
Agora observe o seguinte:
Ao encher o balde e regar a 1ª roseira ele andará 15m . Depois volta 15m enche o balde e anda 15m + 1m até a 2º roseira, ou seja, 31m . Depois volta 16m enche o balde e anda 15m + 2m até a 3ª roseira, ou seja, 33m . Depois volta 17m enche o balde e anda 15m + 3m até a 4ª roseira, ou seja, 35m .
E assim sucessivamente, até a 18ª roseira .
Então, temos 15m, 31m, 33m, 35m, 37m, . . .
Observe que temos uma PA a partir da 2º roseira (31,33,35,37,...), cuja razão r = 2
Então, (2ª roseira) = a1 = 31 (3ª roseira) = a2 = 33 (4ª roseira) = a3 = 35 (5ª roseira) = a4 = 37 . . (18ª roseira) = a17
Logo, an = a1+(n-1).r a17 = 31+(17-1).2 a17 = 31+16.2 ------------> a17 = 63 (18ª roseira)
Então, a soma da distância percorrida da 2ª roseira até a 18ª roseira será dada por:
S = (a1+an).n / 2 S = (31+63).17 / 2 ---------> S = 799 m
Note que da 1ª roseira até a 18ª roseira são 17m.
Então a distância total percorrida até chegar na torneira será 799 + 17 + 15 = 831m.......Será que é isto
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Permalink Responder até Ivanilda Aparcida da Silva em
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Boa noite Sandra, meu resultado bateu com o seu
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Permalink Responder até silvia helena mendes fillet em
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o meu já não bateu deu 846m
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Permalink Responder até OSVALDO RIBEIRO DA SILVA JUNIOR em
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Uma dúvida: de onde vcs tiram estas questões?
silvia helena mendes fillet disse:o meu já não bateu deu 846m
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Permalink Responder até silvia helena mendes fillet em
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Do curso da Unicamp de especialização
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Permalink Responder até sandra aparecida lopes beserra em
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Eu estou fazendo curso da unicamp tambem, nao estou aqui pra obter respostas prontas dos exercicios, eu tenho muita dificuladade nese conteudo sobre PA e PG nao entra na minha cabeça, só quero uma ajuda na expçicação, como se fosse uma aula particular.
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Permalink Responder até silvia helena mendes fillet em
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Sandra, ninguém quer resposta pronta, e sim discutir e tirar dúvidas.
sandra aparecida lopes beserra disse:Eu estou fazendo curso da unicamp tambem, nao estou aqui pra obter respostas prontas dos exercicios, eu tenho muita dificuladade nese conteudo sobre PA e PG nao entra na minha cabeça, só quero uma ajuda na expçicação, como se fosse uma aula particular.
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